Штудиенколлег вариант T-Kurs по математике вариант от 27.01.2026

Aufnahmeprüfung Studienkolleg — Musterprüfung T-Kurs

Вступительный экзамен в Штудиенколлег — Примерный вариант T-курс

Hinweise / Указания:

• Bearbeitungszeit: 90 Minuten. / Время выполнения: 90 минут.
• Alle Lösungswege müssen klar und nachvollziehbar aufgeschrieben werden. / Все решения должны быть записаны четко и понятно.
• Taschenrechner sind nicht erlaubt. / Калькуляторы запрещены.

Teil I: Algebra und Analysis / Часть I: Алгебра и анализ

1. Vereinfachen Sie den Ausdruck vollständig / Упростите выражение полностью:

\[ \frac{3x^2 - 12}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x+2}{x-2} \]

2. Lösen Sie die Gleichungen / Решите уравнения:

a) \( 2^{x+3} = 16 \)

b) \( \sqrt{2x - 5} = 3 \)

c) \( \log_5(x) + \log_5(20) = \log_5(4) \)

3. Textaufgabe / Текстовая задача:

Ein Zug fährt von Stadt A nach Stadt B mit einer konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h. Ein zweiter Zug fährt 30 Minuten später von B nach A auf derselben Strecke mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h. Die Entfernung zwischen A und B beträgt 310 km.

a) Wie viele Stunden nach der Abfahrt des zweiten Zuges treffen sich die Züge?

b) Wie viele Kilometer hat der erste Zug bis zum Treffpunkt zurückgelegt?

Поезд едет из города A в город B с постоянной скоростью 80 км/ч. Второй поезд отправляется на 30 минут позже из B в A по тому же пути со скоростью 100 км/ч. Расстояние между A и B составляет 310 км.

a) Через сколько часов после отправления второго поезда они встретятся?

b) Сколько километров проедет первый поезд до места встречи?

4. Gegeben ist die Funktion / Дана функция:

\[ f(x) = x^2 - 4x + 3 \]

a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform und die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Bestimmen Sie die Nullstellen.

c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion im Koordinatensystem.

a) Определите вид вершины параболы и координаты вершины.

b) Найдите нули функции.

c) Набросайте график функции в системе координат.

Teil II: Geometrie / Часть II: Геометрия

5. Ein rechtwinkliges Dreieck / Прямоугольный треугольник:

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC (mit dem rechten Winkel bei C) sind gegeben:

• Die Hypotenuse \( c = AB = 10\ \text{cm} \)
• Der Winkel \( \alpha = 30^\circ \)

Berechnen Sie:

a) Die Länge der Kathete \( a \) (gegenüber von \( \alpha \)).

b) Die Länge der Kathete \( b \).

c) Den Flächeninhalt des Dreiecks.

В прямоугольном треугольнике ABC (прямой угол при C) дано:

• Гипотенуза \( c = AB = 10\ \text{см} \)
• Угол \( \alpha = 30^\circ \)

Вычислите:

a) Длину катета \( a \) (противолежащего углу \( \alpha \)).

b) Длину катета \( b \).

c) Площадь треугольника.

6. Stereometrie — Zylinder / Стереометрия — Цилиндр:

Ein zylinderförmiger Tank hat einen Innendurchmesser von 1,2 m und eine Höhe von 2,5 m.

a) Berechnen Sie das Volumen des Tanks in Kubikmetern (m³).

b) Berechnen Sie die gesamte innere Oberfläche des Tanks (inkl. Boden und Deckel) in m².

(Verwenden Sie \( \pi \approx 3.14 \))

Цилиндрический бак имеет внутренний диаметр 1,2 м и высоту 2,5 м.

a) Рассчитайте объем бака в кубических метрах.

b) Рассчитайте полную внутреннюю поверхность бака (включая дно и крышку) в м².

(Используйте \( \pi \approx 3.14 \))

Teil III: Analytische Geometrie der Ebene / Часть III: Аналитическая геометрия на плоскости

7. Gegeben sind die Punkte / Даны точки:

\[ A(1|2),\quad B(5|5),\quad C(4|1) \]

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

a) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

b) Рассчитайте площадь треугольника ABC.

8. Geradengleichung / Уравнение прямой:

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden \( g \), die durch die Punkte \( P(-2|4) \) und \( Q(1, -2) \) verläuft (in der Form \( y = mx + b \)).

b) Eine Gerade \( h \) ist parallel zu \( g \) und verläuft durch den Punkt \( R(0, 5) \). Bestimmen Sie die Gleichung von \( h \).

a) Найдите уравнение прямой \( g \), проходящей через точки \( P(-2|4) \) и \( Q(1, -2) \) (в виде \( y = mx + b \)).

b) Прямая \( h \) параллельна \( g \) и проходит через точку \( R(0, 5) \). Найдите уравнение \( h \).

Viel Erfolg! / Удачи!

вариант в форме pdf без ответов

Решения и ответы pdf