Тренировочный вариант от 17.01.2026 по математике в штудиенколлег уровня на технические специальности (T-Kurs )
Aufnahmeprüfung zum Studienkolleg / Вступительный экзамен в Штудиенколлег
Hilfsmittel / Разрешенные средства: Nicht programmierbarer Taschenrechner, Lineal, Geodreieck / Непрограммируемый калькулятор (см примечание в конце документа), линейка, транспортир.
Alle Aufgaben sind ausführlich zu bearbeiten. Der Lösungsweg muss erkennbar sein. / Все задачи должны быть решены подробно. Ход решения должен быть понятным.
a) Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
b) Lösen Sie die Gleichung nach \(x\) auf:
c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung:
a) Упростите выражение насколько это возможно:
b) Решите уравнение относительно \(x\):
c) Найдите множество решений неравенства:
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung:
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion und deren Vielfachheit.
b) Berechnen Sie die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der Funktion. Geben Sie Art und Koordinaten an.
c) Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion.
d) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion unter Verwendung der Ergebnisse aus a)-c). Markieren Sie die charakteristischen Punkte.
Дана функция \(f\) с уравнением:
a) Найдите нули функции и их кратность.
b) Найдите точки экстремума (максимума и минимума) функции. Укажите их тип и координаты.
c) Найдите точку перегиба функции.
d) Постройте эскиз графика функции, используя результаты пунктов a)-c). Отметьте характерные точки.
Im dreidimensionalen Raum sind gegeben:
a) Berechnen Sie:
b) Berechnen Sie das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und den Winkel \(\varphi\) zwischen \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).
c) Berechnen Sie das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\).
d) Zeigen Sie, dass die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) zueinander orthogonal sind.
В трёхмерном пространстве даны векторы:
a) Вычислите:
b) Вычислите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) и угол \(\varphi\) между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
c) Вычислите векторное произведение (смотри примечание в конце документа \(\vec{a} \times \vec{b}\).
d) Покажите, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) ортогональны (перпендикулярны) друг другу.
Ein Bauer möchte mit 80 Metern Zaun ein rechteckiges Feld an einer bereits vorhandenen Mauer abgrenzen (die Mauer ersetzt eine Seite des Rechtecks). Die Seite an der Mauer braucht keinen Zaun.
a) Stellen Sie eine Formel für den Flächeninhalt \(A\) des Feldes in Abhängigkeit von der Länge \(x\) der beiden Zaunseiten senkrecht zur Mauer auf.
b) Für welches \(x\) wird der Flächeninhalt maximal? Wie lang ist dann die Seite parallel zur Mauer?
c) Wie groß ist der maximale Flächeninhalt?
Фермер хочет отгородить 80 метрами забора прямоугольное поле у уже существующей стены (стена заменяет одну из сторон прямоугольника). Сторона вдоль стены не требует забора.
a) Составьте формулу для площади \(A\) поля в зависимости от длины \(x\) двух сторон забора, перпендикулярных стене.
b) При каком значении \(x\) площадь будет максимальной? Какой будет тогда длина стороны, параллельной стене?
c) Чему равна максимальная площадь?
Gegeben ist die Funktion \(f(x) = 2x^2 - 8\).
a) Berechnen Sie die Nullstellen von \(f(x)\).
b) Berechnen Sie das bestimmte Integral
Was bedeutet das Ergebnis geometrisch (Fläche unter der Kurve)?
c) Berechnen Sie den Inhalt der gesamten Fläche, die der Graph von \(f\) und die x-Achse im Intervall \([-2, 2]\) einschließen.
Дана функция \(f(x) = 2x^2 - 8\).
a) Найдите нули функции \(f(x)\).
b) Вычислите определённый интеграл
Что означает этот результат с геометрической точки зрения (площадь под кривой)?
c) Вычислите площадь всей фигуры, которую ограничивают график функции \(f\) и ось x на промежутке \([-2, 2]\).
Hinweise zur Bewertung (für den Tutor/Prüfer) / Примечания для проверяющего:
- Aufgabe 1 / Задание 1: Algebraische Manipulation, Wurzelgleichung (Probe nicht vergessen!), Ungleichungen. / Алгебраические преобразования, иррациональное уравнение (не забыть про проверку!), неравенства.
- Aufgabe 2 / Задание 2: Klassische Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades. / Классическое исследование целой рациональной функции 3-й степени.
- Aufgabe 3 / Задание 3: Grundlegende Vektoroperationen im \(\mathbb{R}^3\). / Основные операции с векторами в \(\mathbb{R}^3\).
- Aufgabe 4 / Задание 4: Extremwertaufgabe (Anwendung der Analysis), typische Optimierungsaufgabe. / Задача на нахождение экстремума (применение анализа), типичная оптимизационная задача.
- Aufgabe 5 / Задание 5: Unterschied zwischen bestimmtem Integral und Flächeninhalt bei Funktionen, die im Integrationsbereich das Vorzeichen wechseln. / Различие между определённым интегралом и площадью фигуры для функций, меняющих знак на промежутке интегрирования.
Gesamtpunktzahl / Общее количество баллов: 100 Punkte / 100 баллов.
Üblicher Bestehensrahmen / Обычный проходной порог: Ca. 50% der Punkte, kann je nach Kolleg und Jahr variieren. / Около 50% баллов, может меняться в зависимости от коллега и года.
Примечание в конце документа
Непрограммируемый калькулятор - используется только в этом варианте для некоторых вычислений (например арккосинус нетабличного приближенного значения), но в реальном экзамене калькулятором пользоваться нельзя
Векторное произведение дано в этом вариантие для расширения знаний, но в реальном варианите векторного произведения не будет, но может быть скалярное произведение
pdf версия варианта от 17.01.2026 без ответов
Комментарии
Отправить комментарий