Решение предела с дробью и тригонометрическими функциями. Правило Лопиталя

Если подставлять ноль в выражение, то получается неопределенность вида 0/0 . Решение пределов часто сводится к тому, чтобы уйти от неопределенности. Один из таких способов - это правило Лопиталя. Иногда правило нужно применить несколько раз, чтобы уйти от неопределенности - как в этом примере правило применяли дважды.

Кстати хорошая теоретическая раскладка с примерами дана на webmath.ru, в частности Правило Лопиталя. Здесь же автоматическая решалка для пределов, и этот предел решалка смогла решить правильно! Несколько иначе, чем я но смогла! Ответ совпал с моим!

Поскольку правило Лопиталя подразумевает нахождение производных, то на том же ресурсе я пользуюсь таблицей производных.

Поскольку функции сложные, то нужно уметь правильно находить производные сложных функций.

Итак решение:

А вот автоматическое решение. Здесь важно правильно ввести функцию под предел
я ввел таким образом: (1-cos(2*x))/((tg(6*x))^2)
Итак решение автоматическое:

Limit:

$lim_(x->0) (1-cos(2 x))\/(tan^2(6 x)) = 1\/18$

Possible intermediate steps:

$Take the limit:\nlim_(x->0) (1-cos(2 x))\/tan(6 x)^2\nIndeterminate form of type 0\/0. Applying L\'Hospital\'s rule we have, lim_(x->0) (1-cos(2 x))\/tan(6 x)^2 = lim_(x->0) (( d(1-cos(2 x)))\/( dx))\/(( dtan(6 x)^2)\/( dx)):\n = lim_(x->0) (cos(6 x)^2 sin(2 x))\/(6 tan(6 x))\nFactor out constants:\n = 1\/6 (lim_(x->0) (cos(6 x)^2 sin(2 x))\/(tan(6 x)))\nIndeterminate form of type 0\/0. Applying L\'Hospital\'s rule we have, lim_(x->0) (cos(6 x)^2 sin(2 x))\/(tan(6 x)) = lim_(x->0) (( d(cos(6 x)^2 sin(2 x)))\/( dx))\/(( dtan(6 x))\/( dx)):\n = 1\/6 (lim_(x->0) 1\/6 cos(6 x)^3 (-5 cos(4 x)+7 cos(8 x)))\nFactor out constants:\n = 1\/36 (lim_(x->0) cos(6 x)^3 (-5 cos(4 x)+7 cos(8 x)))\nThe limit of a product is the product of the limits:\n = 1\/36 (lim_(x->0) cos(6 x)^3) (lim_(x->0) (-5 cos(4 x)+7 cos(8 x)))\nUsing the power law, write lim_(x->0) cos(6 x)^3 as (lim_(x->0) cos(6 x))^3:\n = 1\/36 (lim_(x->0) cos(6 x))^3 (lim_(x->0) (-5 cos(4 x)+7 cos(8 x)))\nUsing the continuity of cos(x) at x = 0 write lim_(x->0) cos(6 x) as cos(lim_(x->0) 6 x):\n = 1\/36 (lim_(x->0) (-5 cos(4 x)+7 cos(8 x))) cos(lim_(x->0) 6 x)^3\nThe limit of a sum is the sum of the limits:\n = 1\/36 (-5 (lim_(x->0) cos(4 x))+7 (lim_(x->0) cos(8 x))) cos(lim_(x->0) 6 x)^3\nUsing the continuity of cos(x) at x = 0 write lim_(x->0) cos(4 x) as cos(lim_(x->0) 4 x):\n = 1\/36 (7 (lim_(x->0) cos(8 x))-5 cos(lim_(x->0) 4 x)) cos(lim_(x->0) 6 x)^3\nUsing the continuity of cos(x) at x = 0 write lim_(x->0) cos(8 x) as cos(lim_(x->0) 8 x):\n = 1\/36 cos(lim_(x->0) 6 x)^3 (-5 cos(lim_(x->0) 4 x)+7 cos(lim_(x->0) 8 x))\nFactor out constants:\n = 1\/36 cos(6 (lim_(x->0) x))^3 (-5 cos(lim_(x->0) 4 x)+7 cos(lim_(x->0) 8 x))\nThe limit of x as x approaches 0 is 0:\n = 1\/36 cos(0)^3 (-5 cos(lim_(x->0) 4 x)+7 cos(lim_(x->0) 8 x))\nFactor out constants:\n = 1\/36 cos(0)^3 (-5 cos(4 (lim_(x->0) x))+7 cos(lim_(x->0) 8 x))\nThe limit of x as x approaches 0 is 0:\n = 1\/36 cos(0)^3 (-5 cos(0)+7 cos(lim_(x->0) 8 x))\nFactor out constants:\n = 1\/36 cos(0)^3 (-5 cos(0)+7 cos(8 (lim_(x->0) x)))\nThe limit of x as x approaches 0 is 0:\nAnswer: | \n | = 1\/18$

Поиск по этому блогу

Мысли как математика